Rydberg formel herleitung

Rydberg-Formel für Wasserstoff

$ {\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}=R\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right) $

Dabei sind

• $ \lambda _{\mathrm {vac} } $ die Wellenlänge des Lichts im Vakuum
• $ R $ die Rydberg-Konstante für das jeweilige Element: $ R={\frac {R_{\infty }}{1+{\frac {m_{e}}{M}}}} $ mit
  • $ m_{e} $ die Masse des Elektrons
  • $ M $ die Kernmasse (abhängig vom vorliegenden Isotop)
  • $ R_{\infty } $ die Rydberg-Konstante für Wasserstoff
• $ n_{1} $ und $ n_{2} $ ganzzahlige Werte der Hauptquantenzahl (mit $ n_{1}<n_{2} $): $ n_{2} $ ist die Quantenzahl des Orbits, von dem aus das Elektron in den tiefer gelegenen Orbit $ n_{1} $ übergeht - also etwa vom dritten Orbit $ n_{2}=3 $ in den zweiten $ n_{1}=2 $ (siehe Bohrsches Atommodell).

Energie und Spektrallinien-Serien

Für die Energie des emittierten Photons und damit für die entsprechende Energiestufe im Atom gilt (siehe auch Rydberg-Energie):

$ E={\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}\cdot c\cdot h $

mit

Mit $ n_{1}=1 $ (Grundzustand) und $ n_{2}\in (2..\infty ) $ erhält man eine Serie von Spektrallinien, die auch Lyman-Serie genannt wird.

Dabei handelt es sich um letztendlich willkürliche Forderungen, die die Stabilität des Atoms erklären sollten:

1. Analog ergeben sich die anderen Serien:

Rydberg Formel für Wasserstoff-ähnliche Atome

Die obige Formel lässt sich auch für Wasserstoff-ähnliche Atome anderer chemischer Elemente erweitern.

Da

$ {\begin{aligned}m_{\mathrm {e} }&\ll M_{\mathrm {min} }=m_{\mathrm {proton} }\ (\mathrm {Faktor} <0{,}00055)\\\Rightarrow {\frac {m_{\mathrm {e} }}{M}}&\ll 1\\\Rightarrow 1+{\frac {m_{\mathrm {e} }}{M}}&\approx 1\\\Rightarrow R&\approx R_{\infty }\end{aligned}} $

• $ n_{1} $ und $ n_{2} $ ganzzahlige Werte der Hauptquantenzahl (mit $ n_{1}<n_{2} $): $ n_{2} $ ist die Quantenzahl des Orbits, von dem aus das Elektron in den tiefer gelegenen Orbit $ n_{1} $ übergeht – also etwa vom dritten Orbit $ n_{2}=3 $ in den zweiten $ n_{1}=2 $ (siehe Bohrsches Atommodell).

Energie

Für die Energie des emittierten Photons gilt:

$ E={\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}\cdot c\cdot h $

mit

Entsprechend gilt für die Energiestufen der beiden o. g.

Rydberg-Formel für Wasserstoff

Formulierung

$ {\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}=R\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right) $

Dabei sind

• $ \lambda _{\mathrm {vac} } $ die Wellenlänge des Lichts im Vakuum
• $ R $ die Rydberg-Konstante für das jeweilige Element: $ R={\frac {R_{\infty }}{1+{\frac {m_{\mathrm {e} }}{M}}}} $ mit
  • $ m_{\mathrm {e} } $ die Masse des Elektrons
  • $ M $ die Kernmasse (abhängig vom vorliegenden Isotop)
  • $ R_{\infty } $ die Rydberg-Konstante für unendliche Kernmasse.

    Lithium, Natrium und Kalium.

  Dabei ist
  Dies leitet sich aus folgenden Formeln ab: und , also folgt:

  Mit n₁ = 1 (Grundzustand) und , erhält man eine Serie von Spektrallinien, die auch Lyman-Serie genannt wird. Ionen, die nur ein Elektron besitzen, wie z. He⁺, Li²⁺, Be³⁺ oder Na¹⁰⁺, lässt sich obige Formel erweitern zu:

  $ {\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}=Z^{2}R\left({\frac {1}{{n'}_{1}^{2}}}-{\frac {1}{{n'}_{2}^{2}}}\right) $

  mit

  Für Atome mit einem Valenzelektron

  Eine weitere Verallgemeinerung auf die Lichtemission von Atomen, die in ihrer äußersten Schale ein einzelnes Elektron besitzen, darunter aber evtl.

  Korrekturen aufgrund von Drehimpulsen oder relativistischen Effekten werden nicht berücksichtigt. Sie zeigt, dass die Energie des Elektrons im Wasserstoffatom proportional zur Hauptquantenzahl ist. Wechselt ein Elektron die Bahn, so ist die Energie des emittierten bzw.

• Rh ist die Rydberg-Konstante für Wasserstoff.

  Eine Verallgemeinerung auf die Lichtemission auch anderer Elemente führt zum Moseleyschen Gesetz. Orbits im Atom (siehe Rydberg-Energie):

  $ E_{1}={\frac {R}{n_{1}^{2}}}\cdot c\cdot h $

  $ E_{2}={\frac {R}{n_{2}^{2}}}\cdot c\cdot h $.

  Mit $ n_{1}<n_{2} $ folgt daraus:

  $ \Rightarrow E_{1}>E_{2} $.

  Nachdem die Bedeutung der Hauptquantenzahl $ n $ im Term $ {\tfrac {R}{n^{2}}} $ für die Energieniveaus erkannt worden war, bürgerten sich die Begriffe Termsymbol und Termschema für damit zusammenhängende Werkzeuge ein.

  Rydberg Formel für Wasserstoff

  Mit

  • λ_vac ist die Wellenlänge des Lichtes, wenn dieses im Vakuum emittiert wird.

    Korrekturen aufgrund von Drehimpulsen oder relativistischen Effekten werden in der Rydberg-Formel nicht berücksichtigt.

    Diese Formel lässt sich nur auf Wasserstoff-ähnliche Elemente anwenden, d.h.

    Ionen, die nur ein einziges Elektron besitzen, wie z. B. auf Elemente, die nur ein Elektron in einer nicht abgeschlossenen Schale besitzen. der Anzahl der Protonen im Atomkern.

    Die Formel wurde am 5. November 1888 vom schwedischen PhysikerJohannes Rydberg vorgestellt; auch Walter Ritz arbeitete an ihr. Der erste Übergang der Serie hat eine Wellenlänge von 121nm, die Seriengrenze liegt bei 91nm.

    Erweiterungen). Bohr’sche Quantenbedingung

    Bohr postulierte weiterhin einen Zusammenhang zwischen dem Bahnumfang U_n, der Elektronenmasse m_e, der Elektronengeschwindigkeit v_n sowie der planckschen Konstante h:

    Die Bohr’sche Quantenbedingung lautet:    U_n · m_e · v_n = n · h

    dabei ist n = 1, 2, 3, … (die Bahnen sind durchnummeriert, die Zahlen entsprechen den Hauptquantenzahlen)

    Diese Quantenbedingung fand Bohr auf intuitivem Weg unter Verwendung einiger komplizierter Überlegungen (es gab keine zwingenden Gründe dafür).

    Die Annahmen liefern richtige Ergebnisse

    Trotz der scheinbar willkürlichen Annahmen konnte Bohr mit Hilfe dieser Postulate die Rydberg-Formel nicht nur herleiten sondern auch die Rydberg-Frequenz und damit sämtliche Spektrallinien des Wasserstoffatoms aus Naturkonstanten berechnen.

    Das Bohr’sche Atommodell hat also eindeutige Stärken aber auch Schwächen.

    Die Stärken des Bohr’schen Atommodells sind:

    • Es ermöglicht die Abschätzung des Atomradius.
    • Es erlaubt die Berechnung der Spektrallinien des Wasserstoffatoms.
    • Es führt erste Erkenntnisse der Quantenphysik (Emission und Absorption von Lichtquanten) in die Atomtheorie ein.

    Die Schwächen des Bohr’schen Atommodells sind:

    • Es geht im Widerspruch zur Quantenphysik von der Existenz definierter Elektronenbahnen aus.
    • Die Bohrschen Postulate erscheinen als willkürliche Annahmen.
    • Bohrs Modell erlaubt für Wasserstoff richtige Vorhersagen, versagt aber bei anderen Atomen.

    Wie sich mit Hilfe des Bohrschen Atommodells der Atomradius, die Energiestufen sowie die Spektrallinien des Wasserstoffatoms berechnen lassen, erfährst Du im Abschnitt “Das Bohrsche Atommodell“.